逻辑代数的基本公式是怎样来的?有点像数学的概率,很多又不同,该怎样理解?

Question

逻辑代数的基本公式是怎样来的?有点像数学的概率,很多又不同,该怎样理解?

Answer 1

它们的相同点很好解释：
概率论是基于集合论建立的.事件——概率论中的基础概念,本身就是集合——样本空间的子集.逻辑代数,就是形式逻辑的数学表达.而逻辑学,显然是可以应用于任何领域的——集合论本身,就是在严格的逻辑基础上建立的.通过简单的定义,就可以建立集合（概率）与逻辑代数间的关系.
定义集合（事件）：A、B；
定义命题（逻辑变量）：
a：某元素x属于集合A；
b：某元素x属于集合B；
它们的运算的对应关系如下：
a或b,即：a+b；表示：x∈A或x∈B,即：x∈A∪B；
a且b,即：a·b；表示：x∈A且x∈B,即：x∈A∩B；
非a,即：：a′；表示：x∉A,即：x∈~A；（A的补集,或A的相反事件）
基本运算能建立对等的关系,那么运算定律必然也有对等关系.举例说明：
【a+ab = a】↔【A∪A∩B = A】；
如果你学过高等数学中的代数系统就能明白,布尔代数、集合论、概率论,它们是具有同构关系的代数系统.
至于不同点,就更好理解了：
相同点、相似性,都是在抽象到一定高度时才能表现出来的.在代数系统的层面上,布尔代数和集合运算十分相似,唯一的区别就是参与运算的对象的含义不同（当然,运算本身的含义也不同）.
但是,第一,上面已经说了,两种领域所研究的对象不同,侧重点也不同.第二、代数系统或数学模型毕竟只能反映事物一方面的性质.不同领域的对象还有很多特有的性质,那些性质需要新的方法来研究.
比如,逻辑代数除了研究基本的逻辑运算外,还定义了很多特有的运算：异或、同或等.这些复杂的逻辑运算,在集合中也能表示,但意义不大,所以不做研究.再比如概率论中的条件概率,用逻辑代数就不好表示了.