从数列中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列的一个子列.（1）写出数列的一个是等比数列的子列；（2）设是无穷等比数列，首项，公比为.求证：当时，数列不存

Question

从数列 中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列 的一个子列.
（1）写出数列 的一个是等比数列的子列；
（2）设 是无穷等比数列，首项 ，公比为 .求证：当 时，数列 不存在
是无穷等差数列的子列.

Answer 1

从数列 中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列 的一个子列.
（1）写出数列 的一个是等比数列的子列；
（2）设 是无穷等比数列，首项 ，公比为 .求证：当 时，数列 不存在
是无穷等差数列的子列.

（1） ；（2）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的定义、通项公式及其性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、逻辑推理能力.第一问，在数列 的所有项中任意抽取几项，令其构成等比数列即可，但是至少抽取3项；第二问，分2种情况进行讨论： 和 ，利用数列的单调性，先假设存在，在推导过程中找出矛盾即可.
试题解析：（1） （若只写出2,8,32三项也给满分）.           4分
（2）证明：假设能抽出一个子列为无穷等差数列，设为 ，通项公式为 .因为
所以 .
（1）当 时， ∈（0，1]，且数列 是递减数列，
所以 也为递减数列且 ∈（0，1]， ,
令 ，得 ，
即存在 使得 ，这与 ∈（0，1]矛盾.
（2）当 时， ≥1，数列 是递增数列，
所以 也为递增数列且 ≥1， .
因为d为正的常数，且 ，
所以存在正整数m使得 .
令 ，则 ，
因为 = ，
所以 ，即 ，但这与 矛盾，说明假设不成立.
综上，所以数列 不存在是无穷等差数列的子列.            13分