已知函数f(x)＝x1+x2，x∈(0，1)．（1）设x1，x2∈（0，1），证明：（x1-x2）•[f（x1）-f（x2）]≥0；（2）设x∈（0，1），证明：3x2−x1+x2≥910(x−13)；（3）设x1，x2，x3都是正数，且x1+x2+x3=1，求u

Question

已知函数f(x)＝(x)/(1+x2)，x∈(0，1)．
（1）设x₁，x₂∈（0，1），证明：（x₁-x₂）•[f（x₁）-f（x₂）]≥0；
（2）设x∈（0，1），证明：(3x2−x)/(1+x2)≥(9)/(10)(x−(1)/(3))；
（3）设x₁，x₂，x₃都是正数，且x₁+x₂+x₃=1，求u＝(3x21−x1)/(1+x21)+(3x22−x2)/(1+x22)+(3x23−x3)/(1+x23)的最小值．

Answer 1

（1）(x1−x2)•[f(x1)−f(x2)]＝(x1−x2)•[(x1)/(1+x21)−(x2)/(1+x22)]＝((x1−x2)2(1−x1x2))/((1+x12)(1+x22))≥0，故得证；
（2）由（1）得(x−(1)/(3))[f(x)−(1)/(3)]≥0，即(x−(1)/(3))((x)/(1+x2)−(3)/(10))≥0整理得(3x2−x)/(1+x2)≥(9)/(10)(x−(1)/(3))，从而得证；
（3）由（2）得u＝(3x21−x1)/(1+x21)+(3x22−x2)/(1+x22)+(3x23−x3)/(1+x23)≥(9)/(10)(x1−(1)/(3)+x2−(1)/(3)+x3−

作业帮用户 2017-10-13