270的n次方是1*2*3*4*5*6*……*200的因数n最大是几?

Question

270的n次方是1*2*3*4*5*6*……*200的因数
n最大是几?

Answer 1

首先郑重声明：
以下解答是拷贝我的好友rchlch的,所以大家先不要骂我
我只是想给楼主一个解答,可以不给我分的……
rchlch的解答
n最大是32.
270共有3个质约数：2,3,5,且270＝2×3^3×5.
我们计算1*2*3*4*5*……*200中2,3,5的次数.
首先,2的次数肯定比5的次数多,因此如果1*2*3*4*5*……*200可以被270的n次方整除,那么一定是除掉以后2还没有用完.因此只需要考虑3和5的次数.
我们计算3的次数：
不大于200的数中3的幂一共有3,9,27,81.
先计算能被3整除的数的个数：
200÷3的整数部分是66,所以能被3整除的数的个数是66；
而被9,27,81整除的数在上述计算中3的次数只计算了一次,因此应该再加上200÷9的整数部分,即22；
而被27,81整除的数在上两次计算中3的次数只计算了二次,因此应该再加上200÷27的整数部分,即7；
而被81整除的数在上三次计算中3的次数只计算了三次,因此应该再加上200÷81的整数部分,即2.
因此1*2*3*4*5*……*200中3的次数是66+22+7+2＝97.
同样地,我们计算1*2*3*4*5*……*200中5的次数.注意到不大于200的整数中5的幂共5,25,125三个.分析与以上完全类似,我们计算出1*2*3*4*5*……*200中5的次数为：
200÷5的整数部分＋200÷25的整数部分＋200÷125的整数部分＝40＋8＋1＝49.
那么如果270的n次方整除1*2*3*4*5*……*200,那么比较两个数3的次数和5的次数,得到：
3n≤97
n≤49.
所以n最大是32.