设p是大于5的质数,求证:p^4≡1(mod240)用费马小定理和欧拉定理知识求解,急,收到请速回复谢谢!

Question

设p是大于5的质数,求证:p^4≡1(mod240)
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Answer 1

证明：欲证p^4≡1(mod240),即证：240|(p^4-1)
∵240=3*5*2^4
（1）∵p为大于5的质数,∴(p, 5)=1,∴由费马定理：p^4≡1(mod5)
∴5|(p^4-1)
（2）∵p为大于5的质数,∴(p, 3)=1,∴由费马定理：p^2≡1(mod3)
又p^4-1=(p^2+1)(p^2-1),∴3|(p^4-1)
（3）∵p为大于5的质数,∴p为奇数
∴p=4k+1或4k+3
当p=4k+1时,p^4-1=(p^2+1)(p+1)(p-1)
∵p-1=4k,∴4|(p-1),而p为奇数,∴p^2+1, p+1均为偶数
∴4|(p^2+1)(p+1),∴16|(p^2+1)(p+1)(p-1),即16|(p^4-1)
当p=4k+3时,p^4-1=(p^2+1)(p+1)(p-1)
∵p+1=4k+4,∴4|(p+1),而p为奇数,∴p^2+1, p-1均为偶数
∴4|(p^2+1)(p-1),∴16|(p^2+1)(p+1)(p-1),即16|(p^4-1)
综上,16|(p^4-1)成立!
∴综合(1)、(2)、(3)可得：240|(p^4-1)
∴p^4≡1(mod240)
望采纳!有问题请追问!