在邊長为a的正方形ABCD的四条边上分别取点A1,B1,C1,D1,使四边形A1B1C1D1仍为正方形，且AA1=1/3a,再作正方形A2B2C2D2,使、顶点A2,B2,C2,D2分别在正方形A1

Question

在邊長为a的正方形ABCD的四条边上分别取点A1,B1,C1,D1,使四边形A1B1C1D1仍为正方形，且AA1=1/3 a,再作正方形A2B2C2D2,使、顶点A2,B2,C2,D2分别在正方形A1

Answer 1

因为AA1/A1B = BB1/B1C 所以AA1/BB1 = A1B/B1C = （AA1+A1B）/（BB1+B1C）(合比定理) 因为是正方形ABCD且AA1+A1B=AB BB1+B1C=BC 所以（AA1+A1B）/（BB1+B1C）=AA1/BB1 = A1B/B1C =1 所以AA1=BB1,A1B=B1C 同理可得AA1=BB1=CC1=DD1,A1B=B1C=C1D=D1A 且∠A=∠B=∠C=∠D 所以△AA1D1≌△A1BB1≌△B1CC1≌△C1DD1 所以A1B1=B1C1=C1D1=D1A1 所以四边形A1B1C1D1是菱形 因为∠BA1B1+∠BB1A1=90° 又因为∠BA1B1=∠C1B1C 所以∠C1B1C+∠BB1A1=90° 所以∠A1B1C1=90° 所以菱形A1B1C1D1是正方形。