六个相同的电阻（阻值均为R）连成一个电阻环，六个接点依次为1、2、3、4、5和6，如图1所示．现有五个完全相同的这样的电阻环，分别称为D1、D2、┅D5．现将D2的1、3、5三点分别与D1的2、4

Question

六个相同的电阻（阻值均为R）连成一个电阻环，六个接点依次为1、2、3、4、5和6，如图1所示．现有五个完全相同的这样的电阻环，分别称为D₁、D₂、┅D₅．现将D₂的1、3、5三点分别与D₁的2、4、6三点用导线连接，如图2所示．然后将D₃的1、3、5三点分别与D₂的2、4、6三点用导线连接，┅依此类推．最后将D₅的1、3、5三点分别连接到D₄的2、4、6三点上．
（1）．证明全部接好后，在D₁上的1、3两点间的等效电阻为(724)/(627)R．
（2）．求全部接好后，在D₅上的1、3两点间的等效电阻．

Answer 1

解法一：
1．（1）电阻图变形．此题连好的线路的平面图如图预解16-5-1所示．

现将电阻环改画成三角形，1、3、5三点为顶点，2、4、6三点为三边中点，如图预解1-5-2与图预解16-5-3所示．整个连好的线路相当于把D_n的三个顶点分别接到D_n-1的三个中点上，图预解16-5-1变为图预解16-5-4．这样第1问归结为求图预解16-5-4中最外层三角环任意两顶点间的等效电阻．
（2）递推公式．
为使图形简化，讨论如何将接好的两个电阻环化简成为一个单环．由六个阻值为r的电阻构成一个三角环，将其顶点接在另一由六个阻值为R的电阻构成的三角环的中点上（如图预解16-5-5所示）．
图预解16-5-6是由六个阻值为R'的电阻构成的三角环．若图预解16-5-5顶点1、3间的电阻与图预解16-5-6顶点l、3间的电阻阻值相等，我们称图预解16-5-6中的R'为等效单环电阻．

用符号“∥”表示电阻的并联，如
           RA∥RB＝(1)/((1)/(RA)+(1)/(RB))
由图预解16-5-5中的对称性可知l、3两顶点间的电阻R_1，3等于图预解16-5-7中1、0间的电阻R_1，0的2倍，即
      
  

R 1， 3＝2R 1， 0

    ＝2{[R∥r∥(2r)]+R}∥R

    ＝2[(1)/((1)/(R)+(1)/(r)+(1)/(2r))+R]∥R

    ＝2(4rR+3R2)/(2r+3R)∥R

    ＝(1)/(3)(4r+3R)/(r+R)R

  ＝R+(1)/(3)r∥R（1）
同理，图预解16-5-6中1、3两顶点间的电阻R_1，3为R 1， 3＝2[(2R′)∥R′]＝(4)/(3)R′（2）
由（1）、（2）式得等效单环电阻R'为R′＝(3)/(4)R+(1)/(4)r∥R（3）
2．第一问
现在考虑把D₁、D₂、D₃、D₄、D₅按相反的次序，由内向外依次连接的情况．首先将D₄接在D₅外面，求双环D₄-D₅的等效单环电阻R^（2）〔即（3）式中的R'〕．这时r=R．由（3）式得到R^（2）为R (2)＝(3)/(4)R+(1)/(4)R∥R＝(7)/(8)R
其次，在双环D₄-D₅外面接上D₃，这时r=R^（2）．三环D₃-D₄-D₅的等效单环电阻R^（3）为R (3)＝(3)/(4)R+(1)/(4)R∥R (2)＝(3)/(4)R+(1)/(4)R∥((7)/(8)R)＝(13)/(15)R
由此可得一般公式，（s+1）环的等效单环电阻R^（s+1）可由R^（s）求出R (s+1)＝(3)/(4)R+(1)/(4)R∥R (s)（4）
于是R (4)＝(3)/(4)R+(1)/(4)R∥R (3)＝(3)/(4)R+(1)/(4)R∥((13)/(15)R)＝(97)/(112)R
R (5)＝(3)/(4)R+(1)/(4)R∥R (4)＝(3)/(4)R+(1)/(4)R∥((97)/(112)R)＝(181)/(209)R
由（2）式R_1，3=（4/3）R'得出由一个环（D₅）、两个环（D₅-D₄）直至五个环（D₅-D₄-D₃-D₂-D₁）构成的线路1、3点间的电阻为

R

(1)  1， 3

＝(4)/(3)R′＝(4)/(3)R

R

(2)  1， 3

＝(4)/(3)((7)/(8))R＝(7)/(6)R

R

(3)  1， 3

＝(4)/(3)((13)/(15))R＝(52)/(45)R

R

(4)  1， 3

＝(4)/(3)((97)/(112))R＝(97)/(84)R

R

(5)  1， 3

＝(4)/(3)((181)/(209))R＝(724)/(627)R
答：所求的五个环的1与3间的等效电阻确为(724)/(627)R．证毕．
3．第二问
根据五个D组成的圆柱形网络的对称性，D₅的l、3两点等价于D₁的2、4两点．等价线路如图预解16-5-8与图预解16-5-9所示．设二图等价，求图预解16-5-9中的R''即可．

R″＝(2R)∥(2R (4))＝(1)/((1)/(2R)+(56)/(97R))＝(194)/(209)R所以

R

(5)  2， 4

＝R″∥2R″＝(2)/(3)R″＝(388)/(627)R
答：所求值为(388)/(627)R．
解法二：
第一问
图预解16-5-3可看做D₅的接线图，其一半如图预解16-5-10所示，竖直粗线为一短路线．一个环（D₅）构成线路的1与0点间的阻值用

R

(1)  1， 0

表示，根据对称性，

R

(1)  1， 0

＝(1)/(2)

R

(1)  1， 3

＝(2)/(3)R．

当D₅接入D₄后，由两个环（类似图预解16-5-5）构成线路图的一半如图预解16-5-11所示．三个带阴影的电阻与短路线围成的三角形（2-0'-0）中的2与0'间的阻值就是图预解16-5-10中1与0间的阻值

R

(1)  1， 0

．其等效电路如图预解16-5-12所示．图预解16-5-11（或图预解16-5-12）中的l与0点间的阻值用

R

(1)  1， 0

表示．有

R

(2)  1， 0

＝[(R∥

R

(1)  1， 0

)+R]∥R＝[(R∥(2)/(3)R)+R]∥R＝(7)/(12)R再将双环D₅-D₄接入D₃，其一半如图预解16-5-13所示，三个带阴影的电阻与短路线围成的三角形中含有六个电阻，其2与0'间的阻值就对应为

R

(2)  1， 0

，参看图预解16-5-12的等效电路，得

R

(3)  1， 0

＝[(R∥

R

(2)  1， 0

+R)]∥R

      ＝[(R∥(7)/(12)R)+R]∥R

     ＝(26)/(45)R

同理，得

R

(4)  1， 0

＝[(R∥

R

(3)  1， 0

+R)]∥R＝[(R∥(26)/(45)R)+R]∥R＝(97)/(168)R

R

(5)  1， 0

＝[(R∥

R

(4)  1， 0

+R)]∥R＝[(R∥(97)/(168)R)+R]∥R＝(362)/(627)R
由此得      

R

(5)  1， 3

＝2

R

(5)  1， 0

＝(724)/(627)R
第二问
五个电阻环构成线路后，最外层环（D₁）上2点与4点间的等效电阻可借用图预解16-5-12求得，将图中

R	(1)  2， 0′

换成

R	(4)  2， 0′

，五个环构成的线路中2与4间阻值可如下求得：
因

R	(5)  2， 0′

＝2R∥

R

(4)  1， 0

∥R＝2R∥(97)/(168)R∥R＝(194)/(627)R故

R

(5)  2， 4

＝2

R	(5)  2， 0′

＝(388)/(627)R