正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1中点,求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值我想知道这个线面角应该怎么找啊,就是几何中的线面角或二面角应该向哪条边做垂直啊

Question

正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1中点,求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值
我想知道这个线面角应该怎么找啊,就是几何中的线面角或二面角应该向哪条边做垂直啊

Answer 1

直线与平面夹角的正弦值就是直线与该平面法向量夹角的余弦值
所以我们以B1为坐标原点,B1A1为x轴,B1C1为y轴,B1B为z轴建立空间直角坐标系,设B1A1=2
A1（2,0,0）B1（0,0,0）C1（0,2,0）D1（2,2,0）
A（2,0,2）B（0,0,2）C（0,2,2）D（2,2,2）
E（0,0,1）F（0,2,1）G（2,2,1）
向量AF=（-2,2,-1）设平面A1EFD1的法向量n=（x,y,1）
法向量与这个平面的两条相交直线垂直
向量A1E=（-2,0,1）向量EF=（0,2,0）
-2x+0*y+1*1=0 x=1/2
0*x+2y+1*0=0 y=0
所以n=（1/2,0,1）=（1,0,2）
sin=cos=(-2*1+2*0+2*(-1))/[根号下（(-2)^2+2^2+(-1)^2）*根号下（1^2+0^2+2^2）]=-4根号5/15