在正方体ABCD-AA1B1C1D1中求证：(1)AC1垂直DB(2)平面C1BD平行平面AB1D1还有第三个小题(3)平面AA1C1C垂直平面BB1D1D

Question

在正方体ABCD-AA1B1C1D1中求证：(1)AC1垂直DB(2)平面C1BD平行平面AB1D1
还有第三个小题(3)平面AA1C1C垂直平面BB1D1D

Answer 1

(1)连结AC交BD于点O.
在正方体中,CC1垂直平面ABCD.
而BD在平面ABCD内,所以CC1垂直BD.
在正方形ABCD中,AC垂直BC.
因为AC交CC1=C,所以BD垂直平面ACC1.
因为AC1在平面ACC1内.
所以AC1垂直BD.
(2)在正方体中
AD1//BC1、B1D1//BD.
又因为AD1、B1D1在平面AB1D1内,BC1、BD在平面C1BD内.
且AD1交B1D1=D1、BC1交BD=B.
所以,平面C1BD//平面AB1D1.
(3)在正方体中
BB1垂直平面ABCD.
而BB1在平面BB1D1D内,所以平面BB1D1D垂直平面ABCD.
在正方形ABCD中,AC垂直BD.
因为平面ABCD交平面BB1D1D=BD,且AC在平面ABCD内.
所以AC垂直平面BB1D1D.
又因为AC在平面AA1C1C内.
所以平面AA1C1C垂直平面BB1D1D.