正方体ABCD-A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：（1）D1O∥平面A1BC1；（2）D1O⊥平面MAC．

Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中O为正方形ABCD的中心，M为BB₁的中点，求证：

（1）D₁O∥平面A₁BC₁；
（2）D₁O⊥平面MAC．

Answer 1

证明：（1）连接BD，B₁D₁分别交AC，A₁C₁于O，O₁
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，对角面BB₁D₁D为矩形
∵O，O₁分别是BD，B₁D₁的中点∴BO 

∥

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.

 D1O1∴四边形BO₁D₁O为平行四边形∴BO₁∥D₁O
∵D₁O⊄平面A₁BC₁，BO₁⊂平面A₁BC₁∴D₁O∥平面A₁BC₁
（2）连接MO，设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，对角面BB₁D₁D为矩形且BB1＝a，BD＝√(2)a
∵O，M分别是BD，BB₁的中点∴BM＝(a)/(2) ，  BO＝OD＝(√(2))/(2)a
∴(BM)/(OD)＝(BO)/(DD1)＝(√(2))/(2)
由于Rt△MBO∽Rt△ODD₁∴∠BOM=∠DD₁O
∵在Rt△ODD₁中，∠DD₁O+∠D₁OD=90°
∴∠BOM+∠D₁OD=90°，即D₁O⊥MO在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
∵DD₁⊥平面ABCD
∴DD₁⊥AC又∵AC⊥BD，DD₁∩BD=D∴AC⊥平面BB₁D₁D
∵D₁O⊂平面BB₁D₁D∴AC⊥D₁O又AC∩MO=O
∴D₁O⊥平面MAC．