求数列C1,2C2,3C3,.nCn的前项和SnC1C2为C的一次方二次方。

Question

求数列C1,2C2,3C3,.nCn的前项和Sn
C1 C2为C的一次方二次方。

Answer 1

用错位相减法：
①S(n)=C+2C^2+3C^3+4C^4+…+nC^n
② CS(n)=C^2+2C^3+3C^4+…+(n-1)C^n+nC^(n+1)
①-②得：
(1-C)S(n)=[C+C^2+C^3+…+C^n]-nC^(n+1)
若C≠1,则
(1-C)S(n)=C(1-C^n)/(1-C)-nC^(n+1)
得S(n)=C(1-C^n)/[(1-C)^2]-nC^(n+1)/(1-C)
若C=1,则S(n)=1+2+3+…+n=n(n+1)/2
【注意分C是否等于1讨论】