若实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则3ab-3bc+2c2的最大值为．

Question

若实数a，b，c满足a²+b²+c²=1，则3ab-3bc+2c²的最大值为___．

Answer 1

不妨考虑c，当c=0时，有3ab-3bc+2c²=3ab≤(3(a2+b2))/(4)=(3)/(4)，
当c≠0时，3ab-3bc+2c²=(3ab-3bc+2c2)/(a2+b2+c2)=(3•(a)/(c)•(b)/(c)-3•(b)/(c)+2)/(((a)/(c))2+((b)/(c))2+1)，
设x=(a)/(c)，y=(b)/(c)，则可令M=3ab-3bc+2c²=(3xy-3y+2)/(x2+y2+1)，
即有Mx²-3xy+My²+M+3y-2=0，
由于x为实数，则有判别式△₁=9y²-4M（My²+M+3y-2）≥0，
即有（9-4M²）y²-12My-4M（M-2）≥0，
由于y为实数，则△₂=144M²+16M（9-4M²）（M-2）≤0，
即有M（M-3）（2M²+2M-3）≤0，
由于求M的最大值，则M＞0，则M≤3．
故答案为：3．