设O是△ABC的三边中垂线的交点，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知b2-2b+c2=0，则BC•AO的范围是[−14，2)[−14，2)．

Question

设O是△ABC的三边中垂线的交点，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知b²-2b+c²=0，则

BC

•

AO

的范围是

[−(1)/(4)，2)

[−(1)/(4)，2)

．

Answer 1

设O是△ABC的三边中垂线的交点，故O是三角形外接圆的圆心
如图所示，延长AO交外接圆于D．
∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=∠ABD=90°．
∴cos∠CAD＝(AC)/(AD)，cos∠BAD＝(AB)/(AD)．
∴

AO

•

BC

=(1)/(2)

AD

•(

AC

−

AB

)=(1)/(2)

AD

•

AC

−(1)/(2)

AD

•

作业帮用户 2017-11-02

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问题解析

如图所示，延长AO交外接圆于D．由于AD是⊙O的直径，可得∠ACD=∠ABD=90°，于是cos∠CAD＝(AC)/(AD)，cos∠BAD＝(AB)/(AD)．可得

AO

•

BC

=(1)/(2)

AD

•(

AC

−

AB

)=(1)/(2)

AD

•

AC

−(1)/(2)

AD

•

AB

=(1)/(2)b2−(1)/(2)c2．再利用c²=2b-b²，化为

AO

•

BC

=b²-b=(b−(1)/(2))2−(1)/(4)．由于c²=2b-b²＞0，解得0＜b＜2．令f（b）=(b−(1)/(2))2−(1)/(4)．利用二次函数的单调性即可得出．

名师点评

本题考点：

平面向量数量积的运算．

考点点评：

本题考查了三角形的外接圆的性质、向量的运算法则、数量积运算、二次函数的单调性等基础知识与基本方法，属于难题．

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