已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R﹚．（1）|f﹙1﹚|≤|f﹙-1﹚|≤14成立，求b2+c2的取值范围；（2）若f（x）在区间（0，1）上有两个零点，求证：c2+﹙1+b﹚c≤116．

Question

已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R﹚．
（1）|f﹙1﹚|≤|f﹙-1﹚|≤(1)/(4)成立，求b²+c²的取值范围；  
（2）若f（x）在区间（0，1）上有两个零点，求证：c²+﹙1+b﹚c≤(1)/(16)．

Answer 1

（1）∵|f﹙1﹚|≤|f﹙-1﹚|≤(1)/(4)，
∴|1+b+c|≤|1-b+c|≤(1)/(4)，
即

b(1+c)≤0

−(1)/(4)≤1−b+c≤(1)/(4)

，
满足约束条件的可行域如下图所示：

又∵b²+c²表示动点（b，c）到原点距离的平方，
由图可知：当b=0，c=-(3)/(4)时，b²+c²取最小值(9)/(16)，
当b=0，c=-(5)/(4)时，b²+c²取最大值(25)/(16)，
故b²+c²的取值范围为[(9)/(16)，(25)/(16)]
证明：（2）f（x）=x²+bx+c的两个零点为x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜1），
则f（x）=（x-x₁）（x-x₂）．
又f（0）=c=x₁x₂＞0，f（1）=1+b+c=（1-x₁）（1-x₂）＞0
∴c（1+b+c）=f（0）f（1），
而0＜f（0）f（1）=x₁x₂（1-x₁）（1-x₂）≤(1)/(16)，
即c（1+b+c）=c²+﹙1+b﹚c≤(1)/(16)．