高数：（微分方程）若y1(x),y2(x)是二阶齐次线性微分方程的两个特解,则y=C1*y1(x)+C2*y2(x)是齐次方程的解.（注意：y1(x),y2(x)不一定线性无关）我想问的是,是不是当C1,C2取任意常数时,比如C1取3,

Question

高数：（微分方程）
若y1(x),y2(x)是二阶齐次线性微分方程的两个特解,则y=C1 * y1(x)+C2 * y2(x)是齐次方程的解.（注意：y1(x),y2(x)不一定线性无关）
我想问的是,是不是当C1,C2取任意常数时,比如C1取3,C2取5,则y=3 * y1(x)+5 * y2(x)是齐次方程的特解?

Answer 1

二阶齐次微分方程表明是
f(y'',y',y)=0 (*)
并且线性的意思就是
f((C1p+C2q)'',(C1p+C2q)',C1p+C2q)
=C1f(p'',p',p)+C2f(q'',q',q)
因为y1,y2满足(*)
所以f(y1'',y1',y1)=f(y2'',y2',y2)=0
而
f((C1y1+C2y2)'',(C1y1+C2y2)',C1y1+C2y2)
=C1f(y1'',y1',y1)+C2f(y2'',y2',y2)
=0+0=0
所以C1y1+C2y2也是微分方程(*)的特解