曲线c1:y=lnx与c2:y=-1/x-1/a（a>0）的一条公切线过点（0,0）则实数a=

Question

曲线c1:y=lnx与c2:y=-1/x-1/a（a>0）的一条公切线过点（0,0）则实数a=

Answer 1

C1开口向上,以（－1,－1）为顶点
C2开口向下,以（0,a）为顶点
做图,可知C1,C2公切线有两条,斜率一为正一为负（有可能俩正）.
要求仅有一条公切线,则两公切线重合,两抛物线相切.
即两抛物线有且仅有一个交点.
即 方程 Y=X²+2X=-X²+A 中,X有且仅有一个解.
2X²+2X=A
X²+X+1/4=A/2+1/4
(X+1/2)²=(2A+1)/4
有且仅有一个解,则(X+1/2)²=(2A+1)/4＝0 A＝-1/2
即A＝-1/2时,两抛物线有且仅有一条公切.
设切线为Y=BX+C
与两曲线有只有一个交点,
BX+C=X²+2X
BX+C=-X²-1/2
都只有一个解
有
[X+(2-B)/2]²=C+(2-B)²/4=0
[X+B/2]²=-1/2-C+B²/4=0
C=-(2-B)²/4=B²/4-1/2, 中 ,B只有一个解
-B²+4B-4=B²-2; 2B²-4B+2=0; 2[B-1]²=0, B=1
C=-1/4
切线方程为Y=X-1/4