200分求通项公式Cn+1^2-CnCn+2=4,C1=1,C2=3求Cn,注不要用归纳法,要用解析法,答案我知道,是2n-1

Question

200分求通项公式
Cn+1^2-CnCn+2=4,C1=1,C2=3求Cn,注不要用归纳法,要用解析法,答案我知道,是2n-1

Answer 1

令n=1可算出C3=5
(Cn+1)^2 - Cn* Cn+2=4
(Cn)^2- Cn-1 * Cn+1=4
相减并整理得：
Cn*(Cn+ Cn+2)=Cn+1 *(Cn-1 + Cn+1),且Cn不为0
故：(Cn+ Cn+2)/ Cn+1 =(Cn-1 + Cn+1)/ Cn
令Bn= (Cn+ Cn+2)/ Cn+1
则Bn=Bn-1=...=B1=(C1+C3)/C2=2
即(Cn+ Cn+2)/ Cn+1=2,即：Cn+ Cn+2=2Cn+1
所以由定义知{Cn}为等差数列,C1=1,d=C2-C1=2
故Cn=2n-1