在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ=2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|•|OM|=4，记点P的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C2上的点到直线ρcos（θ+π

Question

在极坐标系Ox中，直线C₁的极坐标方程为ρsinθ=2，M是C₁上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|•|OM|=4，记点P的轨迹为C₂．
（Ⅰ）求曲线C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C₂上的点到直线ρcos（θ+(π)/(4)）=√(2)距离的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）设P（ρ₁，θ），M（ρ₂，θ），
由|OP|•|OM|=4，得ρ₁ρ₂=4，即ρ2＝(4)/(ρ1)．
∵M是C₁上任意一点，∴ρ₂sinθ=2，即(4)/(ρ1)sinθ＝2，ρ₁=2sinθ．
∴曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ；
（Ⅱ）由ρ=2sinθ，得ρ²=2ρsinθ，即x²+y²-2y=0．
化为标准方程x²+（y-1）²=1．
则圆心坐标为（0，1），半径为1．
由直线ρcos（θ+(π)/(4)）=√(2)，得：ρcosθcos(π)/(4)−ρsinθsin(π)/(4)＝√(2)．
即：x-y=2．
圆心（0，1）到直线x-y=2的距离为d=(|0×1+1×(−1)−2|)/(√(2))＝(3√(2))/(2)．
∴曲线C₂上的点到直线ρcos（θ+(π)/(4)）=√(2)距离的最大值为1+(3√(2))/(2)．