补码的定点整数为什么范围是-2∧(n-1)～+(2∧(n-1)-1)

Question

补码的定点整数为什么范围是-2∧(n-1)～+(2∧(n-1)-1)

Answer 1

原码、补码和反码
数在计算机中是以二进制形式表示的.
数分为有符号数和无符号数.
原码、反码、补码都是有符号定点数的表示方法.
一个有符号定点数的最高位为符号位,0是正,1是副.
以下都以8位整数为例,
原码就是这个数本身的二进制形式.
例如
1000001 就是-1
0000001 就是+1
正数的反码和补码都是和原码相同.
负数的反码是将其原码除符号位之外的各位求反
[-3]反=[10000011]反=11111100
负数的补码是将其原码除符号位之外的各位求反之后在末位再加1.
[-3]补=[10000011]补=11111101
一个数和它的补码是可逆的.
为什么要设立补码呢?
第一是为了能让计算机执行减法：
[a-b]补=a补+（-b）补
第二个原因是为了统一正0和负0
正零：00000000
负零：10000000
这两个数其实都是0,但他们的原码却有不同的表示.
但是他们的补码是一样的,都是00000000
特别注意,如果+1之后有进位的,要一直往前进位,包括符号位!（这和反码是不同的!）
[10000000]补
=[10000000]反+1
=11111111+1
=(1)00000000
=00000000(最高位溢出了,符号位变成了0）
有人会问
10000000这个补码表示的哪个数的补码呢?
其实这是一个规定,这个数表示的是-128
所以n位补码能表示的范围是
-2^(n-1)到2^(n-1)-1
比n位原码能表示的数多一个
又例：
1011
原码：01011
反码：01011 //正数时,反码＝原码
补码：01011 //正数时,补码＝原码
移码：11011 //原数+10000
－1011
原码：11011
反码：10100 //负数时,反码为原码取反
补码：10101 //负数时,补码为原码取反＋1
移码：00101 //原数+10000
0．1101
原码：0.1101
反码：0.1101 //正数时,反码＝原码
补码：0.1101 //正数时,补码＝原码
移码：1.1101 //原数+1
－0．1101
原码：1.1101
反码：1.0010 //负数时,反码为原码取反
补码：1.0011 //负数时,补码为原码取反＋1
移码：0.0010 //原数+1
总结：
在计算机内,定点数有3种表示法：原码、反码和补码
所谓原码就是前面所介绍的二进制定点表示法,即最高位为符号位,“0”表示正,“1”表示负,其余位表示数值的大小.
反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反,但符号位除外.
补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1.
1、原码、反码和补码的表示方法
（1） 原码：在数值前直接加一符号位的表示法.
例如： 符号位 数值位
[+7]原= 0 0000111 B
[-7]原= 1 0000111 B
注意：a. 数0的原码有两种形式：
[+0]原=00000000B [-0]原=10000000B
b. 8位二进制原码的表示范围：-127～+127
2）反码：
正数：正数的反码与原码相同.
负数：负数的反码,符号位为“1”,数值部分按位取反.
例如： 符号位 数值位
[+7]反= 0 0000111 B
[-7]反= 1 1111000 B
注意：a. 数0的反码也有两种形式,即
[+0]反=00000000B
[- 0]反=11111111B
b. 8位二进制反码的表示范围：-127～+127
3）补码的表示方法
1）模的概念：把一个计量单位称之为模或模数.例如,时钟是以12进制进行计数循环的,即以12为模.在时钟上,时针加上（正拨）12的整数位或减去（反拨）12的整数位,时针的位置不变.14点钟在舍去模12后,成为（下午）2点钟（14=14-12=2）.从0点出发逆时针拨10格即减去10小时,也可看成从0点出发顺时针拨2格（加上2小时）,即2点（0-10=-10=-10+12=2）.因此,在模12的前提下,-10可映射为+2.由此可见,对于一个模数为12的循环系统来说,加2和减10的效果是一样的；因此,在以12为模的系统中,凡是减10的运算都可以用加2来代替,这就把减法问题转化成加法问题了（注：计算机的硬件结构中只有加法器,所以大部分的运算都必须最终转换为加法）.10和2对模12而言互为补数.
同理,计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制（假设字长为8）,因此它的运算也是一种模运算.当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出,又从头开始计数.产生溢出的量就是计数器的模,显然,8位二进制数,它的模数为28=256.在计算中,两个互补的数称为“补码”.
2）补码的表示： 正数：正数的补码和原码相同.
负数：负数的补码则是符号位为“1”,数值部分按位取反后再在末位（最低位）加1.也就是“反码+1”.
例如： 符号位 数值位
[+7]补= 0 0000111 B
[-7]补= 1 1111001 B
补码在微型机中是一种重要的编码形式,请注意：
a.采用补码后,可以方便地将减法运算转化成加法运算,运算过程得到简化.正数的补码即是它所表示的数的真值,而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值.采用补码进行运算,所得结果仍为补码.
b.与原码、反码不同,数值0的补码只有一个,即 [0]补=00000000B.
c.若字长为8位,则补码所表示的范围为-128～+127；进行补码运算时,应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围.
------------望采纳,谢谢