数列{an}的前n项和为Sn=2n+1-2，数列{bn}是首项为a1，公差为d（d≠0）的等差数列，且b1，b3，b9成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ）若cn=2(n+1)bn（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn

Question

数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ⁺¹-2，数列{b_n}是首项为a₁，公差为d（d≠0）的等差数列，且b₁，b₃，b₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=(2)/((n+1)bn)（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）因为S_n=2ⁿ⁺¹-2，
所以，当n=1时，a₁=S₁=2¹⁺¹-2=2=2¹，
当n≥2时，
a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，（2分）
又a₁=S₁=2¹⁺¹-2=2=2¹，也满足上式，
所以数列{a_n}的通项公式为an＝2n．（3分）
b₁=a₁=2，设公差为d，则由b₁，b₃，b₉成等比数列，
得（2+2d）²=2×（2+8d），（4分）
解得d=0（舍去）或d=2，（5分）
所以数列{b_n}的通项公式为b_n=2n．（6分）
（Ⅱ）c_n=(2)/((n+1)bn)＝(1)/(n(n+1))（8分）
数列{c_n}的前n项和：
T_n=(1)/(1×2)+(1)/(2×3)+(1)/(3×4)+…+(1)/(n×(n+1))（10分）
=1-(1)/(2)+(1)/(2)−(1)/(3)+…+(1)/(n)−(1)/(n+1)=1-(1)/(n+1)=(n)/(n+1)．（12分）