已知数列{an}满足a1=1，a2=3，当n≥2时，1Sn＝1an−1an+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=3+2log4Sn，pn＝b1•b3•b5•…•b2n−1b2•b4•b6•…•b2n，求证：p1+p2+p3+…+pn＜32(4n+3−3)．

Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，当n≥2时，(1)/(Sn)＝(1)/(an)−(1)/(an+1)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=3+2log₄S_n，pn＝(b1•b3•b5•…•b2n−1)/(b2•b4•b6•…•b2n)，求证：p1+p2+p3+…+pn＜(√(3))/(2)(√(4n+3)−√(3))．

Answer 1

（1）当n≥2时，(1)/(Sn)＝(1)/(Sn−Sn−1)−(1)/(Sn+1−Sn)，
∴（S_n-S_n-1）（S_n+1-S_n）=S_n（S_n+1-2S_n-S_n-1），
∴Sn2＝Sn−1Sn+1，
又S₁=a₁=1，S₂=a₁+a₂=4，
∴数列{S_n}是以1为首项，4为公比的等比数列．
∴Sn＝4n−1．
当n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝3×4n−2，
当n=1时，a₁=1，
∴an＝

1(n＝1)

3×4n−2(n≥2)

．
（2）∵Sn＝4n−1，∴b_n=3+2log₄S_n=2n+1，
令A＝(3×7×11×…×(4n−1))/(5×9×13×…×(4n+1))＝(3)/(5)•(7)/(9)•(11)/(13)•…•(4n−1)/(4n+1)．
B＝(5)/(7)•(9)/(11)•(13)/(15)•…•(4n+1)/(4n+3)，
则A＜B；
A•B＝(3)/(5)•(5)/(7)•(7)/(9)•(9)/(11)•(11)/(13)•(13)/(15)•…•

4n−1

作业帮用户 2017-09-22

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问题解析

（1）利用an＝

S1，n＝1

Sn−Sn−1，n≥2

，再利用等比数列的通项公式可得S_n．进而得到a_n．
（2）利用S_n，即可得到b_n=3+2log₄S_n=2n+1，令A＝(3×7×11×…×(4n−1))/(5×9×13×…×(4n+1))＝(3)/(5)•(7)/(9)•(11)/(13)•…•(4n−1)/(4n+1).B＝(5)/(7)•(9)/(11)•(13)/(15)•…•(4n+1)/(4n+3)，
则A＜B，A•B＞A²，可得A＜(√(3))/(√(4n+3))＝(2√(3))/(√(4n+3)+√(4n−1))＝(√(3))/(2)(√(4n+3)−√(4n−1))，即Pn＜(√(3))/(2)(√(4n+3)−√(4n−1))，进而得到p₁+p₂+…+p_n．

名师点评

本题考点：

数列与不等式的综合；数列递推式．

考点点评：

熟练掌握“利用an＝

S1，n＝1

Sn−Sn−1，n≥2

求a_n或S_n”、等比数列的通项公式、恰当构造式子进行放缩、“前后相消”等是解题的关键．

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