已知等差数列{an}，满足a1=3，a5=15，数列{bn}满足b1=4，b5=31，设cn=bn-an，且数列{cn}为等比数列．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式．（2）求数列{bn}的前n项和．

Question

已知等差数列{a_n}，满足a₁=3，a₅=15，数列{b_n}满足b₁=4，b₅=31，设c_n=b_n-a_n，且数列{c_n}为等比数列．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（2）求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，满足a₁=3，a₅=15，
∴15=3+4d，解得d=3．
∴a_n=3+3（n-1）=3n．
∵数列{b_n}满足b₁=4，b₅=31，设c_n=b_n-a_n，且数列{c_n}为等比数列（可设公比为q）．
∴c₁=4-3=1，c₅=31-15=16，
∴16=1×q⁴，
解得q=±2，
∴cn=(±2)n-1．
∴b_n=a_n+c_n=3n+（±2）^n-1．
（2）当q=2时，数列{b_n}的前n项和=(n(3+3n))/(2)+(2n-1)/(2-1)=(3(n2+n))/(2)+2ⁿ-1．
当q=-2时，数列{b_n}的前n项和=(n(3+3n))/(2)+((-2)n-1)/(-2-1)=(3(n2+n))/(2)-(1)/(3)[(-2)n-1]．