已知a3±b3=（a±b）（a2±ab+b2），如果一列数a1，a2，…满足对任意的正整数n都有a1+a2+…an＝n3，则1a2−1+1a3−1+…1a100−1的值为（）A．33100B．11100C．1199D．33101

Question

已知a³±b³=（a±b）（a²±ab+b²），如果一列数a₁，a₂，…满足对任意的正整数n都有a1+a2+…an＝n3，则(1)/(a2−1)+(1)/(a3−1)+…(1)/(a100−1)的值为（　　）

A．(33)/(100)
B．(11)/(100)
C．(11)/(99)
D．(33)/(101)

Answer 1

根据题意，当n=1时，a₁=1³=1，
当n=2时，a₁+a₂=2³，a₂=2³-1=7，
所以a₂-1=7-1=6=3×（1×2），
当n=3时，a₁+a₂+a₃=3³，a₃=3³-2³=19，
所以a₃-1=19-1=18=3×（2×3），
当n=4时，a₁+a₂+a₃+a₄=4³，a₄=4³-3³=37，
所以a₄-1=37-1=36=3×（3×4），
…
a₁₀₀=100³-99³
=（100-99）×（100²+100×99+99²）
=100²+100×（100-1）+（100-1）²
=100²+100²-100+100²-200+1
=3×100²-300+1，
所以a₁₀₀-1=3×100²-300+1-1=100×（300-3）=100×297=3×（99×100），
(1)/(a2−1)+(1)/(a3−1)+…+(1)/(a100−1)
=(1)/(3(1×2))+(1)/(3(2×3))+(1)/(3(3×4))+…+(1)/(3(99×100))
=(1)/(3)（(1)/(1)-(1)/(2)+(1)/(2)-(1)/(3)+(1)/(3)-(1)/(4)+…+(1)/(99)-(1)/(100)）
=(1)/(3)×（1-(1)/(100)）
=(1)/(3)×(99)/(100)
=(33)/(100)．
故选A．