已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4-2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）．

Question

已知{a_n}为等差数列，前n项和为S_n（n∈N^*），{b_n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b₂+b₃=12，b₃=a₄-2a₁，S₁₁=11b₄．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_2nb_n}的前n项和（n∈N^*）．

Answer 1

（Ⅰ） 设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q．由已知b₂+b₃=12，得b1(q+q2)=12，而b₁=2，所以q²+q-6=0．又因为q>0，解得q=2．所以，bn=2n．
由b₃=a₄-2a₁，可得3d-a₁=8．
由S₁₁=11b₄，可得a₁+5d=16，联立①②，解得a₁=1，d=3，
由此可得a_n=3n-2．
所以，{a_n}的通项公式为a_n=3n-2，{b_n}的通项公式为bn=2n．
（Ⅱ） 设数列{a_2nb_n}的前n项和为T_n，由a_2n=6n-2，有Tn=4×2+10×22+16×23+…+(6n-2)×2n，2Tn=4×22+10×23+16×24+…+(6n-8)×2n+(6n-2)×2n+1，
上述两式相减，得-Tn=4×2+6×22+6×23+…+6×2n-(6n-2)×2n+1=(12×(1-2n))/(1-2)-4-(6n-2)×2n+1=-(3n-4)2n+2-16．
得Tn=(3n-4)2n+2+16．
所以，数列{a_2nb_n}的前n项和为（3n-4）2ⁿ⁺²+16．