在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N分别在AB1、BC1上，且AM＝13AB1，BN＝13BC1，则下列结论①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④B1D1⊥MN中，正确命题的个数是（）A.4B.3C.2D.1

Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M、N分别在AB₁、BC₁上，且AM＝(1)/(3)AB1，BN＝(1)/(3)BC1，则下列结论①AA₁⊥MN；②A₁C₁∥MN；③MN∥平面A₁B₁C₁D₁；④B₁D₁⊥MN中，正确命题的个数是（　　）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

Answer 1

解；在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的四条棱A₁A，B₁B，C₁C，D₁D上分别取点G，F，E，H四点，
使AG=(1)/(3)A₁A，BF=(1)/(3)B₁B，CE=(1)/(3)C₁C，DH=(1)/(3)D₁D，连接GF，FE，EH，HG，
∵点M、N分别在AB₁、BC₁上，且AM＝(1)/(3)AB1，BN＝(1)/(3)BC1，
∴M在线段GF上，N点在线段FE上．且四边形GFEH为正方形，平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴AA₁⊥平面GFEH，∵MN⊂平面GFEH，∴AA₁⊥MN，∴①正确．
∵A₁C₁∥GE，而GE与MN不平行，∴A₁C₁与MN不平行，∴②错误．
∵平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，MN⊂平面GFEH，∴MN∥平面A₁B₁C₁D₁，∴③正确．
∵B₁D₁∥FH，FH⊂平面GFEH，MN⊂平面GFEH，B₁D₁⊂平面A₁B₁C₁D₁，平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，
且MN与FH不平行，∴B₁D₁不可能垂直于MN，∴④错误
∴正确命题只有①③
故选C