若函数∫π−π（x-a1cosx-b1sinx）2dx=mina，b∈R{∫π−π（x-acosx-bsinx）2dx}，则a1cosx+b1sinx=（）A．2sinxB．2cosxC．2πsinxD．2πcosx

Question

若函数

∫

π −π

（x-a₁cosx-b₁sinx）²dx=

min

a，b∈R

{

∫

π −π

（x-acosx-bsinx）²dx}，则a₁cosx+b₁sinx=（　　）

A．2sinx
B．2cosx
C．2πsinx
D．2πcosx

Answer 1

∵

∫

π −π

x2dx＝(2)/(3)π3，

∫

π −π

cos2xdx＝

∫

π −π

sin2xdx＝(π)/(2)，

∫

π −π

xcosxdx＝

∫

π −π

cosxsinxdx＝0，

∫

π −π

xsinxdx＝2π，
∴

∫

π −π

(x−acosx−bsinx)2dx＝(2)/(3)π3+(π)/(2)(a2+b2)−4πb
∴就相当于求函数a²+b²-4b的极小值点，显然可知当a=0，b=2时取得最小值，
故选：A．