如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是正三角形，点D是BC的中点，BC=BB1．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）试在棱CC1上找一点M，使得MB⊥AB1，并说明理由．

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是正三角形，点D是BC的中点，BC=BB₁．

（Ⅰ）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）试在棱CC₁上找一点M，使得MB⊥AB₁，并说明理由．

Answer 1

（本题满分为12分）
证明：（Ⅰ）连结A₁B，交AB₁于点O，连结OD，…1分
在ABB₁A₁中，O为A₁B中点．
又因为D为BC中点，
所以A₁C∥OD，…2分
因为A₁C⊄平面AB₁D，OD⊂平面AB₁D，
所以A₁C∥平面AB₁D，…4分
（Ⅱ）当M为棱CC₁中点时，MB⊥AB₁，理由如下：…5分
因为在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=BB₁，
所以四边形BCC₁B₁为正方形．
因为M为棱CC₁中点，D是BC的中点，易证△B₁BD≌△BCM，…6分
所以∠BB₁D=∠CBM，
又因为∠BB₁D+∠BDB₁=(π)/(2)，
所以∠CBM+∠BDB₁=(π)/(2)，
故BM⊥B₁D，…7分
因为△ABC是正三角形，D是BC的中点，
所以AD⊥BC．
因为平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABC∩平面BB₁C₁C，AD⊂平面ABC，
所以AD⊥平面BB₁C₁C，…9分
因为BM⊂平面BB₁C₁C，
所以AD⊥BM．
因为AD∩B₁D=D，AD，B₁D⊂平面AB₁D，
所以BM⊥平面AB₁D，…11分
因为AB₁⊂平面AB₁D，
所以MB⊥AB₁，…12分．