（2014•浙江二模）球O为边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，P为球O的球面上动点，M为B1C1中点，DP⊥BM，则点P的轨迹周长为455π455π．

Question

（2014•浙江二模）球O为边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球，P为球O的球面上动点，M为B₁C₁中点，DP⊥BM，则点P的轨迹周长为

(4√(5))/(5)π

(4√(5))/(5)π

．

Answer 1

由题意，取BB₁的中点N，连接CN，则CN⊥BM，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，∴CN为DP在平面B₁C₁CB中的射影，
∴点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的边长为2，
∴O到过D，C，N的平面的距离为(√(5))/(5)，
∴截面圆的半径为√(1−(1)/(5))=(2√(5))/(5)，
∴点P的轨迹周长为(4√(5))/(5)π．
故答案为：(4√(5))/(5)π．