已知（1+x）+（1+x)^2+...+(1+x)^n=a0+a1x++a2x^2+...+anx^n成立,如果a1+a2+a3+...+a(n-1)=29-n,求自然数n的值

Question

已知（1+x）+（1+x)^2+...+(1+x)^n=a0+a1x++a2x^2+...+anx^n成立,如果a1+a2+a3+...+a(n-1)=29-n,求自然数n的值

Answer 1

（1+x）+（1+x)^2+...+(1+x)^n=a0+a1x++a2x^2+...+anx^n
令x=1得：
a0+a1+a2+a3+.+a(n-1)+an=2+4+.+2^n=2(2^n-1)
∵a1+a2+a3+...+a(n-1)=29-n,
∴a0+an+29-n=2^(n+1)-2
又a0为常数项a0=1+1+.+1=n (n个1）
只有(1+x)^n展开含x^n,an=1
∴∴n+1+29-n=2^(n+1)-2
∴2^(n+1)=32
∴n+1=5,
∴n=4