绝对值求最大值如果A1,A2,A3,…,A10是1,2,3,…,10的一个排列,那么|2A1-A2|＋|2A2-A3|＋|2A3-A4|＋…＋|2A9-A10|的最大值是多少如果A1，A2，A3，A10是1，10的一个排列，那么|2A1-A2|＋|2A2-A3|＋|2A3-A4|＋…

Question

绝对值求最大值
如果A1,A2,A3,…,A10是1,2,3,…,10的一个排列,那么|2A1- A2|＋|2A2- A3|＋|2A3- A4|＋…＋|2A9- A10|的最大值是多少
如果A1，A2，A3，A10是1，10的一个排列，那么|2A1- A2|＋|2A2- A3|＋|2A3- A4|＋…＋|2A9- A10|+|2A10-A1|的最大值是多少

Answer 1

记f=|2A1- A2|＋|2A2- A3|＋|2A3- A4|＋…＋|2A9- A10|+|2A10-A1|
显然此问题只与1,2,...,10的相对位置有关.
所以不妨假设A1=1,剩下A2,...,A10取值范围是{2,3,4,5,6,7,8,9,10}
看第一个绝对值,|2A1- A2|=A2-2
为使得此表达式最大,显然应取A2=10,剩下A3,...,A10取值范围是{2,3,4,5,6,7,8,9}
看第二个绝对值,|2A2- A3|=20-A3
为使得此表达式最大,显然应取A3=2,剩下A4,...,A10取值范围是{3,4,5,6,7,8,9}
看第三个绝对值,|2A3- A4|=4-A4
为使得此表达式最大,显然应取A4=9,剩下A5,...,A10取值范围是{3,4,5,6,7,8}
看第四个绝对值,|2A4- A5|=19-A5
为使得此表达式最大,显然应取A5=3,剩下A6,...,A10取值范围是{4,5,6,7,8}
看第五个绝对值,|2A5- A6|=A6-6
为使得此表达式最大,显然应取A6=8,剩下A7,...,A10取值范围是{4,5,6,7}
或者取A6=4,剩下A7,...,A10取值范围是{5,6,7,8}
若取A6=8,剩下A7,...,A10取值范围是{4,5,6,7}
看第六个绝对值,|2A6- A7|=16-A7
为使得此表达式最大,显然应取A7=4,剩下A8,A9,A10取值范围是{5,6,7}
看第七个绝对值,|2A7- A8|=8-A8
为使得此表达式最大,显然应取A8=5,剩下A9,A10取值范围是{6,7}
看第八个绝对值,|2A8- A9|=10-A9
为使得此表达式最大,显然应取A9=6,剩下A10取值7
得到一个排列1,10,2,9,3,8,4,5,6,7
此时表达式f=85
若取A6=4,剩下A7,...,A10取值范围是{5,6,7,8}
看第六个绝对值,|2A6- A7|=8-A7
为使得此表达式最大,显然应取A7=5,剩下A8,A9,A10取值范围是{6,7,8}
看第七个绝对值,|2A7- A8|=10-A8
为使得此表达式最大,显然应取A8=6,剩下A9,A10取值范围是{7,8}
看第八个绝对值,|2A8- A9|=12-A9
为使得此表达式最大,显然应取A9=7,剩下A10取值8
得到一个排列1,10,2,9,3,4,5,6,7,8
此时表达式f=81
所以第一种排列可取到85
其实还有其它排列也可达到同样效果,如果固定A1=1,比如说1,10,2,9,3,8,4,7,5,6
85就是最大值了.