已知{an}是公差为2的等差数列，且a3+1是a1+1与a7+1的等比中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=an−12n（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

已知{a_n}是公差为2的等差数列，且a₃+1是a₁+1与a₇+1的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=(an−1)/(2n)（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（满分12分）
（1）∵{a_n}是公差为2的等差数列，
∴a₃=a₁+4，a₇=a₁+12，（2分）
又a₃+1是a₁+1与a₇+1的等比中项，
∴（a₃+1）²=（a₁+1）（a₇+1），
即（a₁+5）²=（a₁+1）（a₁+13）（4分）
解得：a₁=3，∴a_n=2n+1．（6分）
（2）∵b_n=(an−1)/(2n)=(n)/(2n−1)，
∴T_n=(1)/(20)+(2)/(22)+(3)/(23)+…+(n)/(2n−1)，
(1)/(2)Tn＝(1)/(21)+(2)/(22)+(3)/(23)+…+(n−1)/(2n−1)+(n)/(2n)（8分）
两式相减得：(1)/(2)Tn＝1+(1)/(2)+(1)/(22)+…+(1)/(2n−1)−(n)/(2n)（10分）
=2−(2)/(2n)−(n)/(2n)
∴Tn＝4−(n+2)/(2n−1)．（12分）