已知数列{an}满足an+2-an+1=an+1-an，n∈N*，且a5=π2，若函数f（x）=sin2x+2cos2x2，记yn=f（an），则数列{yn}的前9项和为（）A.0B.-9C.9D.1

Question

已知数列{a_n}满足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，n∈N^*，且a₅=(π)/(2)，若函数f（x）=sin2x+2cos²(x)/(2)，记y_n=f（a_n），则数列{y_n}的前9项和为（　　）
A. 0
B. -9
C. 9
D. 1

Answer 1

∵数列{a_n}满足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，n∈N^*，
∴数列{a_n}是等差数列，
∵a₅=(π)/(2)，∴a₁+a₉=a₂+a₈=a₃+a₇=a₄+a₆=2a₅=π，
∵f（x）=sin2x+2cos²(x)/(2)，
∴f（x）=sin2x+cosx+1，
∴f（a₁）+f（a₉）=sin2a₁+cosa₁+1+sin2a₉+cosa₉+1=2，
同理f（a₂）+f（a₈）=f（a₃）+f（a₇）=f（a₄）+f（a₆）=2，
∵f（a₅）=1，
∴数列{y_n}的前9项和为9．
故选C．