已知数列{an}的前n项和为Sn，a4=7且4Sn=n（an+an+1），则Sn-8an的最小值为．

Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄=7且4S_n=n（a_n+a_n+1），则S_n-8a_n的最小值为___．

Answer 1

∵4S₃=3（a₃+a₄）=3（a₃+7），
4S₂=2（a₂+a₃），4S₁=4a₁=a₁+a₂，
解得：a₁=1，a₂=3，a₃=5，a₄=7，…，∴a_n=2n-1．
可得S_n=(n(2n-1+1))/(2)=n²．代入4S_n=n（a_n+a_n+1）验证成立，
∴S_n-8a_n=n²-8（2n-1）=（n-8）²-56，∴当n=8时，S_n-8a_n取得最小值-56．
故答案为：-56．