已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a2，a3，a5成等比数列，S6=45．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令pn=Sn+2Sn+1+Sn+1Sn+2，是否存在正整数M，使不等式p1+p2+…+pn-2n≤M恒成立，若

Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₂，a₃，a₅成等比数列，S₆=45．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令p_n=(Sn+2)/(Sn+1)+(Sn+1)/(Sn+2)，是否存在正整数M，使不等式p₁+p₂+…+p_n-2n≤M恒成立，若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解　（1）设数列{a_n}的公差为d，∵a₂，a₃，a₅成等比数列，
∴

a

2 3

=a2a5，即(a2+d)2=a2(a2+3d)，解得a₂=d，
由S₆=45得2a₂+3d=15，
∴a₂=d=3，
∴a_n=a₂+d（n-2）=3n-3．
（2）由（1）得Sn=(3n(n-1))/(2)，
∴p_n=((3(n+2)(n+1))/(2))/((3n(n+1))/(2))+((3n(n+1))/(2))/((3(n+2)(n+1))/(2))
=2+(2)/(n)-(2)/(n+2)，
∴p₁+p₂+p₃+…+p_n-2n=(2+(2)/(1)-(2)/(3))+(2+(2)/(2)-(2)/(4))+…+(2+(2)/(n)-(2)/(n+2))-2n=2+1-(2)/(n+1)-(2)/(n+2)．
由n是整数可得p₁+p₂+p₃+…+p_n-2n<3，
故存在最小的正整数M=3，使不等式p₁+p₂+p₃+…+p_n-2n≤M恒成立．