设a∈R，关于x的一元二次方程7x2-（a+13）x+a2-a-2=0有两实数根x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2．（1）求a的取值范围；（2）比较a3与a2-a+1的大小．

Question

设a∈R，关于x的一元二次方程7x²-（a+13）x+a²-a-2=0有两实数根x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂＜2．
（1）求a的取值范围；
（2）比较a³与a²-a+1的大小．

Answer 1

（1）记函数f（x）=7x²-（a+13）x+a²-a-2，其图象是一条开口向上的抛物线，
一元二次方程7x²-（a+13）x+a²-a-2=0的两个实数根x₁，x₂即为函数f（x）的零点，则
若0＜x₁＜1＜x₂＜2，则

f(0)＞0

f(1)＜0

f(2)＞0

，
即

a2−a−2＞0

a2−2a−8＜0

a2−3a＞0

，∴

a＞2或a＜−1

−2＜a＜4

a＞3或a＜0

，
∴-2＜a＜-1，或3＜a＜4，
即满足条件时，实数a的取值范围是-2＜a＜-1，或3＜a＜4．
（2）∵a³-（a²-a+1）=（a³-a²）+（a-1）=（a-1）（a²+1）
∴当3＜a＜4时，a-1＞0，则a³＞a²-a+1；
当-2＜a＜-1时，a-1＜0，则a³＜a²-a+1．