已知a1，a2，…，a2002的值都是1或-1，设m是这2002个数的两两乘积之和．（1）求m的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；（2）求m的最小正值，并指出能达到最小正值的条件

Question

已知a₁，a₂，…，a₂₀₀₂的值都是1或-1，设m是这2002个数的两两乘积之和．
（1）求m的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；
（2）求m的最小正值，并指出能达到最小正值的条件．

Answer 1

（1）（a₁+a₂+…+a₂₀₀₂）²=a₁²+a₂²+…+a₂₀₀₂²+2m=2002+2m，
m=((a1+a2+…+a2002)2−2002)/(2)．
当a₁=a₂=…=a₂₀₀₂=1或-1时，m取最大值2003001．
当a₁，a₂，a₂₀₀₂中恰有1001个1，1001个-1时，m取最小值-1001．
（2）因为大于2002的最小完全平方数为45²=2025，且a₁+a₂+…+a₂₀₀₂必为偶数，
所以，当a₁+a₂+…+a₂₀₀₂=46或-46；
即a₁，a₂，a₂₀₀₂中恰有1024个1，978个-1或恰有1024个-1，978个1时，
m取最小值(1)/(2)(462−2002)＝57．