（2011•安徽）在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A1B1C．（1）如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于D．证明：△A1CD是等边三角形

Question

（2011•安徽）在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A₁B₁C．
（1）如图1，当AB∥CB₁时，设A₁B₁与BC相交于D．证明：△A₁CD是等边三角形；
（2）如图2，连接AA₁、BB₁，设△ACA₁和△BCB₁的面积分别为S₁、S₂．求证：S₁：S₂=1：3；
（3）如图3，设AC中点为E，A₁B₁中点为P，AC=a，连接EP，当θ=______°时，EP长度最大，最大值为

(3)/(2)a

(3)/(2)a

．

Answer 1

（1）证明：如图，∵AB∥CB₁，
∴∠BCB₁=∠B=∠B₁=30°，
∴∠A₁CD=90°-∠BCB₁=60°，∠A₁DC=∠BCB₁+∠B₁=60°，
∴△A₁CD是等边三角形；

（2）证明：由旋转的性质可知AC=CA₁，∠ACA₁=∠BCB₁，BC=CB₁，
∴△ACA₁∽△BCB₁，
∴S₁：S₂=AC²：BC²=1²：（√(3)）²=1：3；

（3）如图，连接CP，当△ABC旋转到△A₁B₁C的位置时，
此时θ=∠ACA₁=120°，EP=EC+CP=(1)/(2)a+a=(3)/(2)a．
故答案为：120，(3)/(2)a．