如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=60°，AB=BD，BC=CD．（1）求证：平面ACC1A1⊥平面A1BD；（2）AB=AA1=2，求三棱锥B1-A1BD的体积．

Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，AB=BD，BC=CD．

（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD；
（2）AB=AA₁=2，求三棱锥B₁-A₁BD的体积．

Answer 1

证明：（1）∵AB=BD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=AD，又BC=CD，AC为公共边，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，即AC为∠BAD的平分线，
∴AC⊥BD．
∵A₁A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴A₁A⊥BD，又A₁A⊂平面ACC₁A₁，AC⊂平面ACC₁A₁，A₁A∩AC=A，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，∵BD⊂平面A₁BD，
∴平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD．
（2）取AB的中点M，连结DM，
∵△ABD是等边三角形，AB=2，∴DM⊥AB，DM=√(3)．
∵A₁A⊥平面ABCD，DM⊂平面ABCD，
∴A₁A⊥DM，又A₁A⊂平面ABB₁A₁，AB⊂平面ABB₁A₁，A₁A∩AB=A，
∴DM⊥平面ABB₁A₁，
∴V B1-A1BD=V D-A1B1B=(1)/(3)S△A1B1B•DM=(1)/(3)×(1)/(2)×2×2×√(3)=(2√(3))/(3)．