如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线BC1与直线AC所成角的

Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱A₁A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A₁C₁的中点．
（Ⅰ）证明EF∥平面A₁CD；
（Ⅱ）证明平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅲ）求直线BC₁与直线AC所成角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC∥A₁C₁，AC=A₁C₁，连接ED，
可得DE∥AC，DE=(1)/(2)AC，又F为棱A₁C₁的中点．∴A₁F=DE，A₁F∥DE，
所以A₁DEF是平行四边形，所以EF∥DA₁，
DA₁⊂平面A₁CD，EF⊄平面A₁CD，∴EF∥平面A₁CD
（Ⅱ）证明：∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，
又AA₁⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，
∴AA₁⊥CD，又AA₁∩AB=A，
∴CD⊥面A₁ABB₁，又CD⊂面A₁CD，
∴平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅲ）连结BC₁，A₁B，
∵AC∥A₁C₁，∴∠BC₁A₁是直线BC₁与直线AC所成角，
设棱长为2，由题意知A₁C₁=2，
A₁B=C₁B=√(4+4−2×2×2×cos120°)=2√(3)，
∴cos∠BC₁A₁=(4+12−12)/(2×2×2√(3))=(√(3))/(6)．
∴直线BC₁与直线AC所成角的余弦值为(√(3))/(6)．