求证:从任意n个整数a1,a2...an中,一定可以找到若干个数,使他们的和可被n整除.如题我看到很多回答说1.如果有一个n的倍数,那么命题得证2.如果其中没有n的倍数那么根据抽屉原理其中必有两个

Question

求证:从任意n个整数a1,a2...an中,一定可以找到若干个数,使他们的和可被n整除.
如题
我看到很多回答说1.如果有一个n的倍数,那么命题得证
2.如果其中没有n的倍数 那么根据抽屉原理 其中必有两个数关于n同于,对这两个数做差即可
但是题目要求做和
希望能有合理解释或其他的证法.

Answer 1

证明 考察如下的n个和,a1,a1+a2,a1+a2+a3,…,a1+a2+…+an.
若其中至少有一个能被n的整除,则结论成立；
若其中没有一个能被n整除；则将他们按模n的剩余类至多可分为余数为1,余数为2,…,余数为n-1的n-1个类.因此,这几个整数中至少有两个整数a1+a2+…+ak和a1+a2+a3+ak+…+al（l＞k）对模n有相同的余数.
这时和数ak+1+…+al=（a1+a2+…+ak+…+a1）-（a1+a2+…+ak）显然可被n整除,即结论成立.
仔细看解答,你说的没错,的确是在做和,解答也没错,看清楚,解答的作差的出来的结果仍然是相对于之前的n个数来说,是在做和.