微积分题目一道用函数极限的定义证明：lim(x→x0)sinx=sinx0lim(x→x0)cosx=cosx0

Question

微积分题目一道
用函数极限的定义证明：
lim(x→x0)sinx=sinx0 lim(x→x0)cosx=cosx0

Answer 1

|sinx-sinx0|＝|2cos((x+x0)/2)sin((x-x0)/2)|≤2|sin((x-x0)/2)|≤2|(x-x0)/2|＝|x-x0|
对于任意的正数ε,要使得|sinx-sinx0|＜ε,只要|x-x0|＜ε,所以取δ＝ε,当0＜|x-x0|＜δ时,恒有|sinx-sinx0|＜ε
所以由函数极限的定义,lim(x→x0) sinx＝sinx0
|cosx-cosx0|=|-2sin(x+x0)/2*sin(x-x0)/2|