已知函数f（x）=xlnx+ax2-x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（1）求a的取值范围．（2）设f（x）的两个极值点为x1，x2，证明x1x2>e2．

Question

已知函数f（x）=xlnx+ax²-x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．
（1）求a的取值范围．
（2）设f（x）的两个极值点为x₁，x₂，证明x₁x₂>e²．

Answer 1

（1）函数f（x）=xlnx+ax²-x+a（a∈R）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+2ax．
∵函数f（x）=xlnx+ax²-x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．∴方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；
转化为函数g（x）=(lnx)/(x)与函数y=-2a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点．
又g′（x）=(1-lnx)/(x2)，即0<x<e时，g′（x）>0，x>e时，g′（x）<0，
故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减．故g（x）_极大=g（e）=(1)/(e)．
又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→-∞，在在x→+∞时，g（x）→0，
故g（x）的草图如右图，
∴0<-2a<(1)/(e)，即-(1)/(2e)<a<0．故a的取值范围为（-(1)/(2e)，0）．
（2）由（Ⅰ）可知x₁，x₂分别是方程lnx-ax=0的两个根，
      即lnx₁=-2ax₁，lnx₂=-2ax₂，
设x₁>x₂，作差得ln(x1)/(x2)=-2a(x1-x2)．得-2a=(ln(x1)/(x2))/(x1-x2)．
要证明x₁x₂>e²．只需证明lnx₁+lnx₂>2
⇐-2a（x₁+x₂）>2，⇐(ln(x1)/(x2))/(x1-x2)（x₁+x₂）>2，即只需证明ln(x1)/(x2)>(2(x1-x2))/(x1+x2)，
令(x1)/(x2)=t，则t>1，只需证明lnt>(2(t-1))/(t+1)，
设g（t）=lnt-(2(t-1))/(t+1)  （t>1），g′(t)=((t-1)2)/(t(t+1))>0．
∴函数g（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴g（t）>g（1）=0，故lnt>(2(t-1))/(t+1)成立．
∴x₁x₂>e²成立．