如图，在△ABC中，AB=c，AC=b．AD是△ABC的角平分线，DE⊥A于E，DF⊥AC于F，EF与AD相交于O，已知△ADC的面积为1．（1）证明：DE=DF；（2）试探究线段EF和AD是否垂直？并说明理由；（3）若△BDE的

Question

如图，在△ABC中，AB=c，AC=b．AD是△ABC的角平分线，DE⊥A于E，DF⊥AC于F，EF与AD相交于O，已知△ADC的面积为1．

（1）证明：DE=DF；
（2）试探究线段EF和AD是否垂直？并说明理由；
（3）若△BDE的面积是△CDF的面积2倍．试求四边形AEDF的面积．

Answer 1

（1）证明：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥A于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF（角平分线的性质）；
（2）垂直．理由如下：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中

∠EAD=∠FAD

∠AED=∠AFD

AD=AD

，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（AAS），
∴AE=AF，
∴点A在线段EF的垂直平分线上，
同理点D也在线段EF的垂直平分线上，
∴AD⊥EF；
（3）设S_△CDF=x，则S_△BDE=2x，
∵S_△ACD=1，且△AED≌△AFD，
∴S_△AED=S_△AFD=1-x，
∴S_△ABD=S_△BDE+S_△AED=2x+1-x=x+1，
又S_△ABD=(1)/(2)AB•DE，S_△ACD=(1)/(2)AC•DF，且AB=c，AC=b，
∴(1)/(2)×c•DE=x+1，(1)/(2)×b•DF=1，
∴DE=(2x+2)/(c)，DF=(2)/(b)，
又由（1）可知DE=DF，
∴(2x+2)/(c)=(2)/(b)，解得x=(c)/(b)-1，
∵△AED≌△AFD，
∴S_△AED=S_△AFD=S_△ACD-S_△CDF=1-x，
∴S_{四边形AEDF}=2S_△AED=2（1-x）=2[1-（(c)/(b)-1）]=4-(2c)/(b)，
即四边形AEDF的面积为4-(2c)/(b)．