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如图,⊙O的弦AB=8,直径CD⊥AB于M,OM:MD=3:2,E是劣弧CB上一点,连结CE并延长交CE的延长线于点F.求:(1)⊙O的半径;(2)求CE•CF的值.
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如图,⊙O的弦AB=8,直径CD⊥AB于M,OM:MD=3:2,E是劣弧CB上一点,连结CE并延长交CE的延长线于点F.求:

(1)⊙O的半径;
(2)求CE•CF的值.

(1)⊙O的半径;
(2)求CE•CF的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)连结OB,设OM=3k,则MD=2k,OD=5k,
∵直径CD⊥AB,
∴BM=AM=
AB=4,
在Rt△OBM中,OB=5k,OM=3k,
∴BM=
=4k,
∴4k=4,解得k=1,
∴圆O的半径为5;
(2)连结AE,如图,
在Rt△ACM中,CM=OC+OM=5+3=8,AM=4,
∴AC2=AM2+CM2=16+64=80,
∵直径CD⊥AB,
∴弧AC=弧BC,
∴∠AEC=∠CAF,
又∵∠ACF=∠FCA,
∴△CAE∽△CFA,
∴AC:CF=CE:AC,
∴CE•CF=AC2=80.

∵直径CD⊥AB,
∴BM=AM=
1 |
2 |
在Rt△OBM中,OB=5k,OM=3k,
∴BM=
OB2−OM2 |
∴4k=4,解得k=1,
∴圆O的半径为5;
(2)连结AE,如图,
在Rt△ACM中,CM=OC+OM=5+3=8,AM=4,
∴AC2=AM2+CM2=16+64=80,
∵直径CD⊥AB,
∴弧AC=弧BC,
∴∠AEC=∠CAF,
又∵∠ACF=∠FCA,
∴△CAE∽△CFA,
∴AC:CF=CE:AC,
∴CE•CF=AC2=80.
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