在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F，下列结论：①∠FCD=45°，②AE=EC，③S△ABF：S△AFC=BD：CD，④若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长．正确的是（）A．①②B．

Question

在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F，下列结论：①∠FCD=45°，②AE=EC，③S_△ABF：S_△AFC=BD：CD，④若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长．正确的是（　　）

A．①②
B．①③
C．①④
D．①③④

Answer 1

∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，
∴AD⊥BC，而△ABF和△ACF有一条公共边，
∴S_△ABF：S_△AFC=BD：CD，
∴③正确；
∵∠ABC=45°，
∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，
而∠ADB=∠ADC=90°，
∴△BDF≌△ADC，
∴FD=CD，
∴∠FCD=∠CFD=45°，
∴①正确；
若BF=2EC，根据①得BF=AC，
∴AC=2EC，
即E为AC的中点，
∴BE为线段AC的垂直平分线，
∴AF=CF，BA=BC，
∴AB=BD+CD=AD+CD=AF+DF+CD=CF+DF+CD，
即△FDC周长等于AB的长，
∴④正确．
故选D．