在△ABC中，∠ABC=45°，H是高AD，BE的交点．（1）当∠BAC为锐角时（如图①），求证：BH=AC；（2）当∠BAC为钝角时（如图②），其他条件不变，请画出符合要求的图形．这时BH=AC还成立吗？若成

Question

在△ABC中，∠ABC=45°，H是高AD，BE的交点．
（1）当∠BAC为锐角时（如图①），求证：BH=AC；
（2）当∠BAC为钝角时（如图②），其他条件不变，请画出符合要求的图形．这时BH=AC还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠DAC=∠EBC．
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
又∵∠ADC=∠BDH，
∴Rt△BDH≌Rt△ADC（ASA）．
∴BH=AC．
（2）如图，HB=AC仍然成立．
证明：∵∠H+∠HAE=90°，∠C+∠CAD=90°，
又∵∠HAE=∠DAC，
∴∠H=∠C．
∵∠ABC=45°，∠ADB=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
又∵∠BDH=∠ADC，∠H=∠C．
∴Rt△BDH≌Rt△ADC．（AAS）
∴BH=AC．