如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC边上一动点，CE⊥BD于E．（1）如图（1），若BD平分∠ABC时，①求∠ECD的度数；②延长CE交BA的延长线于点F，补全图形，探究BD与EC的数量关系，并证明你

Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC边上一动点，CE⊥BD于E．

（1）如图（1），若BD平分∠ABC时，
①求∠ECD的度数；
②延长CE交BA的延长线于点F，补全图形，探究BD与EC的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图（2），过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE，CE，AF之间的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

（1）①∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠CBA=45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBA=22.5°，
∵CE⊥BD，
∴∠ECD+∠CDE=90°，∠DBA+∠BDA=90°，
∵∠CDE=∠BDA，
∴∠ECD=∠DBA=22.5°；

②BD=2CE．
证明：延长CE交BA的延长线于点F，如图1，
∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，
∴CE=FE，
在△ABD与△ACF中，

∠DBA=∠ACF

∠BAC=∠CAF

AB=AC

，
∴△ABD≌△ACF（AAS），
∴BD=CF=2CE；

（2）结论：BE-CE=2AF．
证明：过点A作AH⊥AE，交BE于点H，如图2，
∵AH⊥AE，
∴∠BAH+∠HAC=∠HAC+∠CAE，
∴∠BAH=∠CAE，
在△ABH与△ACE中，

∠HBA=∠ECA

AB=AC

∠BAH=∠ACE

，
∴△ABH≌△ACE（ASA），
∴CE=BH，AH=AE，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴AF=EF=HF，
∴BE-CE=2AF．