如果x的一元二次方程(ac-bc)x^2+(bc-ab)x+(ab-ac)=0有两个相等的实根,求证1/a+1/c=2/b

Question

如果x的一元二次方程(ac-bc)x^2+(bc-ab)x+(ab-ac)=0
有两个相等的实根,求证1/a+1/c=2/b

Answer 1

(ac-bc)x^2+(bc-ab)x+(ab-ac)=0 有两个相等的实根,设根为 m
两根之和 2m=-(bc-ab)/(ac-bc) ab-bc=2m(ac-bc) (1)
两根之积 m²=(ab-ac)/(ac-bc) ab-ac=m²(ac-bc) (2)
(1)-(2) -bc+ac=(ac-bc)(2m-m²) (ac-bc)=(ac-bc)(2m-m²)
1=2m-m² m²-2m+1=0 (m-1)²=0 m=1
将 m=1 带入(2)
ab-ac=ac-bc ab+bc=2ac 方程两边同除以 abc
得 1/a+1/c=2/b