在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC=12，EC=5①求证：AF⊥BD②求AF的长度；（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD

Question

在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°
（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC=12，EC=5
①求证：AF⊥BD  ②求AF的长度；
（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由

Answer 1

（1）①证明：如图1，

在△ACE和△BCD中，
∵

AC=BC

∠ACB=∠ECD=90°

EC=DC

，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠BFE=∠ACE=90°，
∴AF⊥BD．
②∵∠ECD=90°，BC=AC=12，DC=EC=5，
∴BD=√(122+52)=13，
∵S_△ABD=(1)/(2)AD•BC=(1)/(2)BD•AF，
即(1)/(2)×17×12=(1)/(2)×13•AF
∴AF=(204)/(13)．
（2）证明：如图4，

∵∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△ACE≌△BCD中

AC=BC

∠ACE=∠BCD

EC=DC

∴△ACE≌△BCD，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠BFA=∠BCA=90°，
∴AF⊥BD．
（3）∠AFG=45°，
如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，

∵△ACE≌△BCD，
∴S_△ACE=S_△BCD，AE=BD，
∵S_△ACE=(1)/(2)AE•CN，
S_△BCD=(1)/(2)BD•CM，
∴CM=CN，
∵CM⊥BD，CN⊥AE，
∴CF平分∠BFE，
∵AF⊥BD，
∴∠BFE=90°，
∴∠EFC=45°，
∴∠AFG=45°．