锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0）（1）△ABC中边BC上高AD=；

Question

锐角△ABC中，BC=6，S_△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0）

（1）△ABC中边BC上高AD=______；
（2）当x=______时，PQ恰好落在边BC上（如图1）；
（3）当PQ在△ABC外部时（如图2），求y关于x的函数关系式（注明x的取值范围），并求出x为何值时y最大，最大值是多少？

Answer 1

（1）由BC=6，S_△ABC=12，得AD=4；
（2）当PQ恰好落在边BC上时，
∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．
∴(MN)/(BC)＝(AG)/(AD)，
即(x)/(6)=(4−x)/(4)，x=2.4（或(12)/(5)）；
（3）设BC分别交MP，NQ于E，F，则四边形MEFN为矩形．
设ME=NF=h，AD交MN于G（如图2）GD=NF=h，AG=4-h．
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC．
∴(MN)/(BC)＝(AG)/(AD)，即(x)/(6)＝(4−h)/(4)，
∴h＝−(2)/(3)x+4．
∴y=MN•NF=x（-(2)/(3)x+4）=-(2)/(3)x²+4x（2.4＜x＜6），
配方得：y=-(2)/(3)（x-3）²+6．
∴当x=3时，y有最大值，最大值是6．